Los números reales

Números irracionales

Los números racionales pueden escribirse en forma decimal, produciendo siempre un decimal exacto o periódico. Todo decimal periódico puede escribirse en forma de fracción.

Es fácil comprobar que hay números cuya expresión decimal no es periódica, por ejemplo:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14.....

Estos números no se pueden escribir en forma de fracción: no son racionales.

Llamamos irracionales a los números cuya parte decimal no es exacta ni periódica.

Números reales

El conjunto de los números reales, denotado por la letra R con la forma que ves a la izquierda, está formado por todos los números racionales y todos los números irracionales. Es decir, todos los números que pueden escribirse en forma decimal, sea ésta exacta, periódica o no periódica.

Aproximaciones

Los números reales tienen infinitas cifras decimales, por lo que, en general, no es posible dar su valor exacto. En algunos casos, como los racionales (con la fracción generatriz) y los radicales, sí es posible representarlos de manera exacta. Pero en infinidad de otros casos (como el número π) esto no es posible.

Cuando en un problema necesitamos usar un número con infinitas cifras decimales, en la práctica usamos un valor aproximado que nos permita obtener un resultado aceptable aunque no sea exacto.

Representación gráfica de números irracionales

Suele identificarse al conjunto Rcon una recta, a la que se denomina recta real.

Valor absoluto

La equivalencia entre puntos y números permite aplicar conceptos geométricos al cálculo, en particular la idea de distancia mediante el valor absoluto de un número.

Llamamos valor absoluto de un número real, a, al mayor de los números a y -a.

El valor absoluto de a se representa así: |a|.

El valor absoluto de un número representa la distancia del mismo al cero. Podemos generalizar esta idea:

Llamamos distancia entre dos números reales, a yb, al valor absoluto de su diferencia:

d(a,b)=|b-a|=|a-b|

Intervalos: segmentos y semirrectas

El concepto de intervalo está ligado a los conceptos geométricos de segmento y semirrecta: un intervalo acotado equivale a un segmento y un intervalo no acotado equivale a una semirrecta.

Dados dos números reales a y b, llamamosintervalo de extremos a y b al conjunto de números reales comprendidos entre ambos.

Forma exponencial

Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a.

Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que eldenominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es elexponente del radicando.

Calcular raíces
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el número en forma de potencia y luego se extraen todos los factores que sea posible.


Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta.
Esta técnica es muy útil para hallar raíces exactas. Cuando la raíz no es exacta esta técnica transforma el radical en una expresión más manejable, más comprensible.

Sumas y Restas

Dos expresiones radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes. Para ello se saca factor común el radical correspondiente y se suman o restan los coeficientes. 
Productos

Dos expresiones radicales pueden multiplicarse sólo si tienen el mismo índice. En ese caso el producto se hace de la siguiente manera:

comprobando al final si puede extraerse algún factor del radical.

Si los radicales no son del mismo índice, primero se buscan radicales equivalentes que

tengan el mismo índice y luego se multiplican. Ejemplo:

(Aquí solo veremos radicales cuadráticos.)

Radicales equivalentes

Dos o más radicales se dicen equivalentes, si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes.

Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales equivalentes, multiplicando odividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical.

Un radical es irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.

Raíz de un producto

La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los factores.

Es una consecuencia de las propiedades de las potencias:

Raíz de un cociente

La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor.

Es una consecuencia de las propiedades de las potencias:

Raíz de una potencia

Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada.

Es una consecuencia de las propiedades de las potencias:

Raíz de una raíz

La raíz n-ésima de la  raíz m-ésima de un número es igual a la raíz n·m-ésima de dicho número.

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de ambas.

Es una consecuencia de las propiedades de las potencias:

*Información obtenida de: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_A_reales/index_2.htm