VALOR ESPERADO Y VARIANZA

VALOR ESPERADO Y VARIANZA

Valor esperado


El valor esperado es un concepto fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. Desde hace muchos años este concepto ha sido Aplicado ampliamente en el negocio de seguros y en los últimos veinte años ha Sido aplicado por otros profesionales que casi siempre toman decisiones en
Condiciones de incertidumbre.
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos
Cada valor que ésta puede asumir por la probabilidad de ocurrencia de ese
Valor y luego sumamos los productos. Es un promedio ponderado de los
Resultados que se esperan en el futuro.

Sea X una Variable Aleatoria que toma valores en un conjunto discreto (en un
conjunto finito de números en uno infinito como: los naturales, los enteros o los
racionales), por ejemplo si la variable aleatoria X toma los siguientes valores:

X = 0, 1, 2, 3, … decimos que es discreta

La probabilidad de que X tome cada uno de sus valores viene dada por la función
de probabilidad:

P(X = i ), para i = 0, 1, 2, 3, ... ;

Sea P(X = i ) = pi para i = 0, 1, 2, 3, ... Se tiene que p1 + p2 + p3 +...+ pn +... = 1

Se define el Valor Esperado de una Variable Aleatoria con distribución discreta

como:

µ = E(X) = ∑xf (x)

Y para una variable aleatoria con distribución continua como


−∞
µ = E(X) = ∫ xf (x)dx
∞

Varianza

Se podría usar un argumento parecido para justificar las fórmulas para la varianza
de la población 2 σ y la desviación estándar de la población σ . Estas medidas
numéricas describen la dispersión o variabilidad de la variable aleatoria mediante
el “promedio” o “valor esperado” de las desviaciones cuadráticas de los valores de
x a partir de su media µ .

Sea x variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad f(x) y media µ .

La varianza de x es: La varianza de x es: σ2 = E[( - X µ) ] =∑(x - µ)2 f (x)

Sea x variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x) y media µ .
∞
La varianza de x es : σ2 = E[( X -µ)2 ] = ∫ (x- µ)2 f x dx