A.8. La famosa ecuación de la energía:  E = m c² 

En la introducción histórica (A.1.1) ya hablábamos de la ecuación de la energía de Einstein, y es que incluso aunque hayamos renunciado expresamente al cálculo, resultaría absurdo no hablar de la ecuación más famosa de la historia y de su significado.

Decíamos allí que esta ecuación relaciona la masa (m) con la energía (E) y sugiere que ambas cosas son equivalentes. La primera consecuencia que se pudo comprobar fue que un cuerpo con mucha masa como el Sol puede curvar la trayectoria de los rayos de luz (energía luminosa o energía electromagnética), al igual que la gravedad del Sol curva las trayectorias de los planetas y los captura para siempre a su alrededor.

Aunque este hecho se suele considerar como una prueba de la Relatividad General ya que la fuerza de la gravedad al curvar la luz curvará también el espacio, la ecuación de la energía ya insinuaba todas estas cosas, aunque es cierto que la Relatividad Especial no bastaba para estudiarlas.

Sin embargo la consecuencia más importante de la relación que se establece entre masa y energía es que sugiere que una se puede transformar en la otra. La aplicación pacífica de esta idea son las centrales nucleares, pero el público conoció por primera vez esa nueva forma de energía al final de la segunda guerra mundial, cuando se hicieron explotar dos bombas atómicas sobre Hiroshima y Nagasaki en agosto de 1945.

¿Cómo descubrió Einstein que la masa se podía transformar en energía?

A.8.1.  Cuanto más rápido vayamos más pesaremos

Hemos visto que si viajamos a elevadas velocidades el tiempo se dilata (pasa más despacio) y las longitudes se acortan, así que a nadie le extrañará saber que el peso (!) también cambia y además con el mismo factor gamma que aparecía en las dos situaciones anteriores (ver tabla 1 en A.4.2).

Realmente lo que cambia es la masa, pues el peso es la fuerza con que caes hacia el suelo, y esta fuerza depende de si estás en la Tierra, en la Luna (pesas la sexta parte), en Marte (pesas la mitad) o en el vacío del espacio, mientras que la masa no cambia al ir de uno a otro porque es una medida de la cantidad de materia (realmente de la cantidad de inercia).

La masa es una magnitud que intenta medir la cantidad de materia que contiene un objeto material. Si hay doble cantidad de materia (doble masa) la Tierra nos atraerá con doble fuerza, pero la Luna también y Marte también. En la Luna todos pesamos la sexta parte que en la Tierra, pero el doble aquí sigue siendo el doble allí.

¿Y que pasa si subimos en un cohete y viajamos a velocidades elevadas?

Pues que la masa aumenta y además lo hace en una proporción igual a la constante relativista gamma. Si vamos a una velocidad de 270 000 km/s, que representa una velocidad relativa de 0,9 veces la de la luz, el factor gamma (ver tabla 1 en el apartado A.4.2) es más de dos, lo cual significa que nuestra masa se duplica.

De todas formas, igual que ocurría con la dilatación temporal y la contracción de longitudes, el que viaja no aprecia ningún cambio. Somos los de la Tierra, los que les vemos viajar, los que vemos que su tiempo va más despacio, que sus longitudes se contraen y que su masa aumenta.

¿Entonces en que se nota que pesan más?

Esencialmente en que de cada vez cuesta más (energía) acelerar la nave.

A esta propiedad se le llama inercia (la oposición que ejercen los cuerpos a que se les acelere) y por esto a la masa se le llama “masa inerte”.

Si nuestra masa aumenta, de cada vez hace falta más combustible para dar un pequeño empujón al cohete, pero al darle un pequeño empujón la masa aumenta más y por tanto el siguiente empujón tiene un efecto más pequeño, pues lucha por mover una masa aun mayor.

En la tabla 1 podéis ver que al llegar a 295 000 km/s la masa se ha multiplicado por 5, y por tanto costará 5 veces más el empujar un poco más el cohete. Pero al llegar a 299 000 km/s la masa se ha multiplicado por 12, al llegar a 299 900 km/s se multiplica por 38, y al llegar a 299 990 km/s se ha multiplicado por más de 100. En esas condiciones aumentar la velocidad del cohete llega a ser prácticamente imposible.

A.8.2.  La velocidad de la luz no se puede superar

Con lo que hemos visto está claro que al acercarnos a la velocidad de la luz la masa crece desorbitadamente, de manera que si llegásemos a la velocidad de la luz la masa se haría infinita.

Es fácil comprender que esta velocidad será inalcanzable, ya que cuando la masa aumenta hay que quemar una cantidad proporcional de combustible para seguir acelerando. Así si la masa se hace infinita haría falta una cantidad infinita de combustible para acelerar el cohete un poco más.

Como el combustible existente en el Universo es limitado (muy grande pero limitado), es absolutamente imposible acelerar hasta la velocidad de la luz incluso utilizando toda la energía del Universo.

Así la velocidad de la luz se convierte en un límite que ningún cuerpo puede superar. La conclusión es que la velocidad de la luz no se puede alcanzar. Cualquier cohete irá siempre a velocidades inferiores a la de la luz.

En realidad Einstein procedió al revés. Primero estudió el movimiento relativista y observó que por más energía que apliquemos nunca llegaremos a la velocidad de la luz, y esta dificultad por alcanzar velocidades grandes fue interpretada por Einstein como un aumento de la masa inerte (la que se opone al movimiento) y esto le llevó a la convicción de la equivalencia de masa y energía aun antes de tener la demostración.

A.8.3.  La energía se manifiesta como masa

Cuando Einstein observó que a grandes velocidades aumentaba la masa, pensó que la energía que se transmite al cuerpo para acelerarlo se había transformado en masa.

De hecho la energía cinética no se transforma en masa, es decir, no aparecen nuevos protones ni electrones, por esto en ambientes universitarios mucha gente es reacia a la afirmación de que aumenta la masa. Podríamos decir que es la propia energía la que se manifiesta como masa, la que manifiesta propiedades inerciales. Aunque esta interpretación tampoco satisface a todo el mundo tiene la virtud de darnos una imagen mental razonablemente sencilla y realista como para poder argumentar correctamente a partir de ella.

En este texto introductorio trabajamos a nivel descriptivo y la mejor imagen mental de la situación, la que mejor resume lo que ocurre a elevadas velocidades es la que insinuó Einstein: que aumenta la inercia y por tanto la masa. No aparecen nuevas partículas, sino que todas ellas aumentan de masa.

En la época de Einstein era una suposición arriesgada pues incluso la teoría atómica era cuestionada y no se podía ni imaginar ningún experimento que permitiera comprobar tal cosa en el laboratorio, pero todo cuadraba si así ocurría.

En principio puede parecer un “truco”, un juego de palabras (muchos científicos dirían que “sólo es un modelo”), pero es algo más pues la masa (la inercia) aumenta de verdad, como comprueban cada día en los aceleradores de partículas, donde se aceleran protones o pequeños átomos a altísimas velocidades ().

Sin embargo la idea de que la energía se manifieste como masa tiene dos interpretaciones.

La primera interpretación, que se deduce de la ecuación de Einstein, nos indica que cada partícula material pasa a tener más masa, más inercia.

Lo que Einstein demostró es que cualquier proceso en el que aparezca un intercambio de energía es también un intercambio de masa, o dicho de otra manera, que la energía manifiesta propiedades inerciales.

Pero Einstein fue más allá. Cuando demostró la famosa ecuación que relaciona masa y energía (en 1905) ya propuso una segunda interpretación: que la masa se podía transformar en energía y viceversa. Esto nos parece hoy muy natural pues la bomba atómica ha demostrado claramente que la masa se puede transformar en energía, pero en su época nadie tenía ni idea de como transformar una cosa en la otra. La energía de las estrellas y de las centrales nucleares se basa también en este tipo de transformaciones.

Hay que decir que incluso después de la bomba atómica se sabía que se podían transformar neutrones en protones o núcleos de un tipo (un elemento químico) en núcleos de otro tipo (otro elemento químico), pero de ahí a proponer que con la suficiente energía y usando solamente energía podemos crear un protón o un átomo, o que podemos desintegrar un átomo para extraer toda su energía hay un salto muy grande, y sin embargo esto es lo que propuso Einstein.

Hoy sabemos que también en esto tenía razón.

El camino para entender estos procesos y comprobarlos experimentalmente fue bastante largo y pasó por el desarrollo de la física nuclear, y por el descubrimiento de las antipartículas, los neutrinos, etc. Al final se ha comprobado que su fórmula refleja fielmente la relación entre masa y energía.

A.8.4.  La demostración de la ecuación de la energía

Según lo que hemos dicho, cuando empujamos un objeto y le transmitimos una pequeña cantidad de energía también le estamos transmitiendo una pequeña cantidad de masa.

¿Porqué nunca se había detectado ese aumento de masa?

Porque las energías que manejamos habitualmente representan cantidades minúsculas de masa, que resultan imposibles de apreciar en comparación con la masa del objeto que estamos moviendo. En la práctica nunca podremos medir aumentos tan pequeños de masa, así que en nuestro entorno cotidiano nunca podremos apreciar que masa y energía sean la misma cosa.

Sin embargo si seguimos un razonamiento del estilo del que utilizó Einstein, resulta muy fácil ver que la energía “debe” manifestarse como masa necesariamente.

El razonamiento de Einstein se basa en dos suposiciones que a finales del siglo XIX ya estaban bien comprobadas:

1) La energía luminosa (o en general la energía electromagnética) se puede transmitir a los cuerpos materiales que la absorben o la emiten, es decir, cuando los fotones chocan con los átomos de los cuerpos materiales y son absorbidos, les transmiten un cierto impulso, de manera similar a como ocurre en los choques de partículas. Debido a esta capacidad de transmitir movimiento los físicos dicen que los fotones (la luz) tienen momento lineal.

2) Un sistema cerrado al que no se aplican fuerzas exteriores se comporta como una sola masa concentrada en el centro de masas. Si el centro de masas está quieto permanecerá así indefinidamente mientras no apliquemos fuerzas exteriores.

Estos dos supuestos nos indican que emitir luz (o sea emitir fotones) es, básicamente como tirar proyectiles con un cañón. Aunque tengan una energía muy pequeña, se observará como cada disparo ejerce un retroceso sobre el cañón.

Por otra parte en el lado en el que impactan los proyectiles (los fotones) observaremos que transmiten un empujón (un impulso) a la pared sobre la que inciden. De esta manera entregan la energía que le dimos con el cañón.

A.8.5.  El cañón de fotones (cerrado)

Imaginemos un “experimento mental” con un cañón de fotones (un foco luminoso) consistente en un tubo largo dentro del cual tenemos a la derecha un emisor de luz (nuestro cañón de fotones) y supongamos que la pared izquierda está cubierta de alguna sustancia capaz de absorber completamente esa luz (los fotones). El aspecto sería el de la parte sup/erior de la Fig. 8.1.

Fig. 8.1-  El cañón de fotones sufre el retroceso propio de cualquier cañón.

  
Como decíamos en el apartado anterior, a finales del siglo XIX ya sabían que la luz tiene momento, y por tanto cuando se emiten los fotones (parte superior de la Fig. 8.1) el emisor experimentará un retroceso similar al de cualquier cañón. El tubo se pondrá en movimiento hacia la derecha.

Aunque es cierto que el impulso que transmiten los fotones es pequeño, podemos suponer una cantidad grande de ellos (un foco muy intenso de luz láser), de forma que haya un empuje observable.

En un experimento real podría producirse una deformación del tubo o del fondo del tubo, o cualquier problema similar, pero nosotros estamos haciendo un experimento mental, y podemos suponer que resolvemos estas “pequeñeces” con los recursos tecnológicos adecuados (materiales muy resistentes y flexibles, capaces de recuperar su forma original, etc).

Aunque para este experimento conviene imaginar un tubo largo (longitud L de la Fig. 41), la velocidad de la luz es tan elevada que rápidamente los fotones alcanzarán el otro extremo del tubo (el lateral izquierdo), siendo absorbidos allí de nuevo.

Al absorberse esos fotones el fondo del tubo recibe el impacto y frena el movimiento hacia la derecha que llevaba el tubo.

Es importante tener en cuenta que suponemos que este experimento se realiza en el vacío del espacio, sin rozamientos.

Por otra parte, según la segunda suposición hecha en el apartado anterior, al ser un sistema aislado al que no se le aplican fuerzas externas, su centro de masas deberá permanecer inmóvil.

Y sin embargo sabemos que el tubo se ha movido debido al retroceso que los fotones le imprimen. Este ligero movimiento hacia la derecha por efecto de la emisión de los fotones no tendría sentido a menos que alguna otra masa se haya desplazado hacia la derecha para compensarlo.

La única explicación posible (la que dio Einstein) para que el centro de masas no se haya movido es que los fotones que se han desplazado a lo largo del tubo representen un transporte de masa hacia la izquierda que compense exactamente el ligero movimiento hacia la derecha que ha experimentado el resto del tubo.

Así pues este razonamiento confirma la hipótesis de Einstein de que masa y energía son equivalentes, ya que aportar energía luminosa (fotones) a la izquierda se ha traducido en un aporte de masa.

Los cálculos necesarios son muy sencillos y los encontrareis en las páginas del curso de nivel B (nivel elemental pero con cálculos), y muestran que la masa transportada coincide exactamente con la ecuación de la energía de Einstein, tal como esperábamos.

A.8.6.  Conclusión

Sin cálculos no podemos ir mucho más allá, pero hemos cubierto los aspectos esenciales de la R.E. y quizás los más interesantes para el no profesional de la física.

De hecho la R.E. es una teoría extensa, que obliga a revisar muchos aspectos de la física clásica, pero la parte elemental, o sea la que hemos expuesto hasta aquí, no encierra cálculos complicados, de manera que animamos al lector a pasar al nivel B, donde podrá encontrar los cálculos correspondientes a lo que se ha visto hasta aquí y algún contenido adicional que sin cálculos es difícil de exponer.