AO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA

EDUCACIN

ALUMNO:
Csar Carmona Bernilla
CURSO:

Matemtica I

CICLO:
1
SEMESTRE:

2011 - II

DOCENTE:
Wilfredo Agustn Robles
FACULTAD:

Fac. Ing. Mecnica y Elctrica

ESCUELA PROF:
Ing. Mecnica y Elctrica
UNIVERSIDAD:
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
TEMA:
APLICACIONES DE LA DERIVADA
AULA:

FIME 02

CODIGO:
020111993-I

EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

FRMULAS:

y sin x y ' cos x

y cx n c y ' c.n.x n 1

y u x v x y ' u ' x v' x

y u x .v x y ' u ' x . v x u x .v' x

u x
v x

y'

u ' x . v x u x . v ' x
v

x'
1
y x y'

2 x 2 x

y u x

v u x .v x
y' u x x
v ' x . ln u x
u

v x )

y e y ' e y ' ' y ' ' '...

x

y ' e

y e y ' a.e

nx

ye

nx

1
1 tan 2 x
2
cos x

y cot x y '

1
1 cot 2 x
2
sin x

y a. sin kx y ' a.k . cos kx

y a. cos kx y ' a.k . sin kx

y sin n x y ' n. sin n 1 x. sin x '

y cos n x y ' n. cos n 1 x. cos x '

y cot n x y ' n. cot n 1 x . cot x '

y ln x y '

x'
x

e
2

y e x y'

y log a x y '

y ln 1 x y '

y a nx y ' n.a nx . ln a
2

y ln x n y '

n.x'
x

1 x'
y ln x y ' .
2 x

x
y x y ' . x '
x

1
1 x

y a x y ' a x .2 x. ln a

1
x. ln a

y a y ' a . ln a
x

y tan n x y ' n. tan n 1 x . tan x '

y x.e y ' e .1 x
x

y tan x y '

y cos x y ' sin x

y arcsin x y '

x'
1 x2

y arccos x y '

x'
1 x2

y arctan x y '

x'
1 x2

y arc cot x y '

x'
1 x2

1
1
Lim cot x
x 0 x
x

x cot x 1
x cos x sin x
Lim
2
x

0
x
x 2 sin x
cos x x sin x cos x
x sin x
Lim

2
x 0
2 x sin x x cos x
2 x sin x x 2 cos x
sin x x cos x
sin x x cos x
Lim

x 0 2 sin x 2 x cos x 2 x cos x x 2 sin x

2 sin x 4 x cos x x 2 sin x
cos x cos x x sin x
2
1
Lim

x 0 2 cos x 4 cos x 4 x sin x 2 x sin x x 2 cos x

6
3
Lim
x 0

Lim
x 0

sin x x
x3

Lim
x 0

cos x 1 sin x cos x

1

2
6x
6
6
3x

Lim
x0

1 cos x 3
x 3 sin x 3

x3 a
Lim
a0

Lim
x0

1 cos 2 x
x tan x

1 cos a
sin a
cos a
cos x 3
1

Lim

0
a sin a
sin a a cos a cos a cos a a sin a
2 cos x3 x 3 sin x3 2

Lim
x 0

sin 2 x sin 2 x. cos x

sin x. cos x cos 2 x sin 2 x

Lim

1 0 1
x 0
x sin x
x sin x
x
1
cos x

Lim
x 0

1 cos 2 x 2 x 2
x4

2 sin 2 x 4 x 4 cos 2 x 4 cos 2 x 1 2 sin 2 x 2 cos 2 x

2
Lim

3
2
2
x 0
6
x
3
3
4x
12 x
3x

Lim
x 0

sin cos x
x sin x

cos x cos x . sin x sin cos x . 2 sin 2 x cos x . cos cos x

sin x x cos x
cos x cos x x sin x
2

Lim
x0

Lim
x 0

1
2
2
1 cos x x

x 2 2 2 cos x
2 x 2 sin x
2 2 cos x

x 0
x 2 x 2 cos x
2 x 2 x cos x x 2 sin x 2 2 cos x 2 x sin x 2 x sin x x 2 cos x
2 2 cos x
2 sin x
Lim

x 0 2 2 cos x 4 x sin x x 2 cos x

2 sin x 4 sin x 4 x cos x 2 x cos x x 2 sin x
2 sin x
2 cos x
2 1
Lim

2
x 0 6 sin x 6 x cos x x 2 sin x
6 cos x 6 cos x 6 x sin x 2 x sin x x cos x 12 6
Lim

Lim

x / 2

1
2

1 - sinx cos 2 x

cos 2 x 2 2 sin x
- 2cosxsinx 2cosx
Lim
2
x / 2
x

/
2
cos x 1 - sinx
2 cos x sin x cos 2 x sin 2 cos x. sin x
- 2sinx 2
- 2cosx
1
1
Lim

x / 2 2 sin x cos 2 x 2 sin 2 x

2 cos x 2 sin x. cos x 4 sin x. cos x 1 3 sin x
2
Lim

1
1

x sin x

Lim
x0

Lim
x0

sin x x
cos x 1
sin x
cos x
sin x

0
x sin x
sin x x cos x 2 cos x x sin x 3 sin x x cos x 4 cos x x sin x

1
1
2
x
sin
x
x

Lim
x 0

x sin x
1 cos x
sin x

x 2 sin x 2 x sin x x 2 cos x 2 sin x 2 x cos x 2 x cos x x 2 sin x

cos x
1
Lim

x 0 2 cos x 4 cos x 4 x sin x 2 x sin x x 2 cos x

6
Lim
x 0

1
1
Lim 2
x0
tan 2
x

sin x x cos x sin 2 x 2 x cos x x sin 2 x 2 cos 2 x 2 cos 2 x 2 x sin 2 x 2 x sin 2 x 2 x 2 cos 2 x

x 0
x 2 sin 2 x
2 x sin 2 x x 2 sin 2 x
2 sin 2 x 2 x sin 2 x 2 x sin 2 x 2 x 2 cos 2 x
4 sin 2 x 2 sin 2 x 4 sin 2 x 8 x cos 2 x 4 x cos 2 x 4 x 2 sin 2 x
Lim
x 0
2 sin 2 x 4 sin 2 x 8 x cos 2 x 4 x cos 2 x 4 x 2 sin 2 x
4 cos 2 x 12 cos 2 x 24 x sin 2 x 8 x sin 2 x 8 x 2 cos 2 x 16 2
Lim

x 0 12 cos 2 x 12 cos 2 x 24 x sin 2 x 8 x sin 2 x 8 x 2 cos 2 x

24 3
2

Lim

cos 2. cos x

sin 2 x

Lim
x 0

sin 2. cos x . . sin x

sin 2. cos x. sin x
2

Lim
2
x 0
sin 2 x
sin 2 x

cos 2. cos x . . sin x . sin x sin 2. cos x . cos x

2
2

Lim
x 0
2 cos 2 x
4

2 x tan 4 x
Lim
x 0 2 x tan 4 x

Lim
x 0

2 4 sec 2 4 x 2 4
6

3
2
2 4 sec 4 x 2 4 2

1 cos x
x 2 2x 1

Lim
x 1

Lim
x 1

sin x 2 cos x 2 1 2

2x 2
2
2
2

Lim
x 0

1
1
2
2
sin x x

x 2 sin 2 x
2 x sin 2 x
2 2 cos 2 x

x 0
x 2 sin 2 x
2 x sin 2 x x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 x sin 2 x 2 x sin 2 x 2 x 2 cos 2 x
2 2 cos 2 x
4 sin 2 x
Lim

x 0 2 sin 2 x 4 x sin 2 x 2 x 2 cos 2 x

2 sin 2 x 4 sin 2 x 8 x cos 2 x 4 x cos 2 x 4 x 2 sin 2 x
4 sin 2 x
8 cos 2 x
Lim

x 0 6 sin 2 x 12 x cos 2 x 4 x 2 sin 2 x

12 cos 2 x 12 cos 2 x 24 x sin 2 x 8 x sin 2 x 8 x 2 cos 2 x
8 cos 2 x
8 cos 2 x 1
Lim

x 0 24 cos 2 x 32 x sin 2 x 8 x 2 cos 2 x

24 cos 2 x 3
Lim

Lim x 3 sin 3 x ax 2 b 0
x 0

Para qu valores de los constantes a y b es:

sin 3x ax bx 3
sin 3x a

0
2 b 0 Lim
3
x 0
x 0
x
x3
x

Lim

Hallando " a": L' Hopital

3 cos 3 x a 3bx 2
3 a
0
0 3 a 0 a 3
2
x0
3x
0

Lim

Hallando " b": L' Hopital

3 cos 3 x a 3bx 2
9 sin 3 x 6bx
0 Lim
0
2
x0
x 0
3
x
6x

Lim

27 6b
27 cos 3 x 6bx
0
0
6
6

9
27 6b 0 b
2
Lim
x0

Lim
x

x sin x
x

Lim
x

1 cos x
1 cos( ) 1 0 1
1

ax 2 b
Lim 2
x cx d

Lim
x

2ax 2a a

2cx 2c c

1 cot x

2
x
x

Lim
x 0

x x 2 . cot x 1 x cot x
Lim

x 0
x3
x2
L' Hospital :
Lim
x 0

x cos x
sin x sin x x cos x 0 Ind .
0
x2
x 2 sin x

cos x cos x x sin x

sin x
cos x
1

2
2 sin x x cos x 2 cos x cos x x sin x 3
2 x sin x x cos x

tan x x
x sin x

Lim
x 0

sec 2 x 1
1 cos 2 x
sin 2 x
sin 2 x

2
2
x 0 1 cos x
cos x cos x cos x cos x sin x sin 2 x
2 cos 2 x
2
Lim

2
x 0 cos x 2 cos 2 x
1 2
Lim

1
1
2

2
x sec x
x

Lim
x 0

Lim
x0

x 2 sec x x 2 sec x 1 1 cos x

sin x cos x 1
2

Lim

4
2
x 0 2 x
2
2
x sec x
x sec x
x

1 - cosx
Lim
x 0 x tanx

1 - cosx
cos x cos 2 x

x 0
sinx
x cos x sin x
x
cosx
L' Hospital :
Lim

Lim
x 0

sin x sin 2 x
sin x sin 2 x 0 0

0
cos x x sin x cos x 2 cos x x sin x 2 0

Lim
x 0

xcosx - sinx
x

Lim
x0

cosx - xsinx - cosx

x sin x sin x x cos x 0 0 0
1

Lim
x 0

x - sinx
x5 3

Lim
x 0

1 - cosx
sinx
9 x1 3 sin x 9(0)1 3 (0)

0
5 23
10 1 3
10
10
x
x
3
9

Lim

2sin x x 1

x 1

x 1

Lim
x 1

2 cos x 2x 2 2 sin x 2

2x 2
2

Lim
x

1 cosx
x sin x

x h x h
1 cos h
cos h - 1
sin h
Lim
Lim

h 0 h sin h
h 0 h sin h
sin h h cos h
cos h
1
Lim

h 0 cos h cos h h sin h

2

Lim
x 0

3sin x sin 3x
x3

Lim
x 0

3 cos x 3 cos 3x 3 2 sin x 9 2 sin 3x 3 3 cos x 27 3 cos 3x

4 3
6x
6
3x 2

1
1

2
x tan x
x

Lim
x 0

xsinx - x 2 cosx
xsinx - x 2 cosx
sinx - xcosx

Lim
Lim
3
3
x0
x

0
x

0
x sin x
x sin x
x 2 sin x
cosx cosx xsinx
sinx xcosx
Lim
Lim
x 0 2 x sin x x 2 cos x
x 0 2 sin x 2 x cos x 2 x cos x x 2 sin x
cosx cosx - xsinx
2 1
Lim

2
x 0 2 cos x 4 cos x 4 x sin x 2 x sin x x cos x
6 3
Lim

1 cot x

2
x
x

Lim
x 0

x - x 2 cot x
1 - x cot x
sinx - x cos x
Lim
Lim
x 0
x 0
x 0
x3
x2
x 2 sin x
cosx cosx xsinx
sinx xcosx
Lim

2
x 0
2 x sin x x cos x
2 sin x 2 x cos x 2 x cos x x 2 sin x
cosx cosx - xsinx
1
Lim

x 0 2 cos x 4 cos x 4 x sin x 2 x sin x x 2 cos x

3
Lim

r ,0

y 0.s LT

Re emplazando :
x 2 4 2 x.x0 y0

r ,0

x 2 4 2 x r 0 x 2 4 2 xr

x2 4
x2
4
r

r
2x 2x
2x

0, s

x 2 4 2 x 0 s x 2 4 s
Halle un punto sobre la parbola y = 4 x 2 tal que la recta tangente

en el 2 cuadrante determine con los ejes coordenados un tringulo de rea mnima.

y 4 x2

y ' 2 x
y ' ' 2 pendiente es negativa

y y0 y' x x 0

4 x 2 y 0 2 x x x0
4 x 2 y 0 2 x 2 2 x.x 0
x 2 4 2 x.x 0 y 0

A ' x

2 x 2 4 2 x 4 x x 2 4
16 x 2

4x2 x2 4 x2 4
4x2
A ' x 0
A ' x

4 x 2 x 2 4 x 2 4 0

3 x 4 8 x 2 16 0 3 x 2 4 x 2 4 0
x

rs
A
2
Re emplazando :

x2 4 2
x 4
2x
2

A x

4
4x

4 3
r
3
16
s
3
4 3
r ,0
,0
3

16
32 3
0.s 0,
A x min ima
3

Hallando punto comn entre

tan gente y la parbola :
4 3
16
x .................
3
3
2
y 4 x ...........................
Igualando : y
y

4 3
16
x
4 x2
3
3
4 3.x 16 12 3 x 2
Punto en comn : xo , yo
xo 1.154
y0 2.668

2 3
3

Hallando Ecuacin de la Tangente :

como : m 2 x

4 3
3

y mx b
y

4 3
xb
3

16
Re emplazando el Punto 0,
3

16 4 3
16

. 0 b b
3
3
3
Ec. Tangente :
y

4 3
16
x
3
3

Un agricultor quiere construir y cercar un campo que tenga la forma de un sector circular. Si para
cercarlo posee un alambre de 200m. de longitud, calcule el radio que debe tener el sector para que el
campo sea lo ms grande posible. (rea mxima)

A' 100 2 R
Alambre : 200m permetro R
A' R 0
P R .R R
100 2 R R 50m
P 2 R .R
.R P 2 R 2 A A 100 50 50 2
max
50
2
1
2
2
A . .R
A

2500
m
50
2

Maximizando rea :
1
A . .R.R
2
2 A P 2 R . R
2 A P.R 2 R 2
A R

P.R
R 2 100 R R 2
2

Dado K > 0, demuestre que entre todos los enteros positivos x e y tales que x + y = k, la suma x 2 + y2
es mnima cuando x = y.

f ( x , y ) x 2 y 2 mnimo
f '( x, y ) 0
f ' ( x , y ) ( x 2 y 2 )' 0

f '( x) x 2 k x ' 0
2

2 x

f x, y x y k

f ' ( x ) x k 2.k .x x 2 ' 0

2

f '( x)
f '( x)

ykx
2
k 2 2.k .x ' 0
k
4 x 2 k 0 4 x 2k x k 2 y 2

Verificand o el mnimo
f ' ' x 4 0
f '( x ) mnimo

Dado K > 0, demuestre que entre todos los enteros positivos x e y tales que x 2 + y2 = k, la suma x + y
es mxima cuando x = y.

f ( x , y ) x y mximo
f ( x) x k x 2

f x k x
f x 2.x. k x k x
f ' 2.x. k x k '
2 f . f ' 2 k x x.k x 2 x
f . f ' k x x .k x
2

( x)

2 12

( x)

2 12

( x)

2 1 2

2 12

( x)

( x)

2 12

( x)

( x)

2 1 2

Hallando Puntos Crti cos :

f '( x) 0

f x . 0 k x 2

0 k x2
0

12

x 2 .k x 2

1 2

.k x

2 12

k 2x 2 0

k x

2 12

12

k x2 x2

k 2x 2

x k 2

f x, y x 2 y 2 k
y k x2
y k 2

Maximizando rea :
A a 2 . sin cos

A' 2a 2 sin cos . cos sin

A' 2a 2 sin cos . sin cos

A' 2a 2 sin 2 cos 2 2a 2 sin 2 2a 2 cos 2

rea Mxima : A' 0
2a 2 sin 2 2a 2 cos 2 0 sin 2 cos 2
sin cos

sin
1 tan 4
cos

Cada lado de un cuadrado tiene una longitud a. Halle

el lado del cuadrado de mxima rea que se puede circunscribir

x a cos a sin

0
2
2
rea : x
Lado del cuadrado :
1
1
a

2
2

xa 2

Dado un cono circular recto de radio R y altura H, halle el radio y la altura del cilindro circular recto
de mayor rea lateral que puede circunscribirse en el cono.

V , r , h Variables

H , R Contas tan tes

AL 2. .r.h
Semejanza de Tringulos :
H
R

H h r
H .r
hH
.............
R

Re spuesta :
R
2
H
h
2
r

Derivando AL por derivacin implcita en funcin de " r":

A' r 2. .h 2. .r.h' r
A' r 0
2. .h 2. .r.h' r 0
h
h r.h' r 0 h' r .........
r
Derivando h en funcin de " r":
h' r

H
..............
R

Igualando y :
h
H
r .H

h
............
r
R
R
Igualando y para hallar " h" :

r .H
H .r
H
R
R
r.H H .R H .r H

. R r
R
R
R
R
r R r r ............
2
Re emplazando en para hallar " r" :
h

R.H
H
h
2R
2

Halle las dimensiones del cilindro circular recto de mximo volumen que puede inscribirse en un cono
circular recto de radio R y altura H.

V , r , h Variables

H , R Contas tan tes

V .r 2 .h
Re spuesta : Semejanza de Tringulos :
2
H
R
r .R

3
H h r
H
Rh
h
r R
.............
3
H

Igualando y :
r
R
2hR

r
............
2h
H
H
Igualando y para hallar " h":

2hR
Rh
R
H
H
2hR RH Rh R

. H h
H
H
H
H
2h H h h ............
3
Re emplazando en para hallar " r":
r

2 HR
2
r .R
3H
3

Derivando V por derivacin implcita en funcin de " h":

V ' h .r 2 2. .r.h.r ' h
V ' h 0

.r 2 2. .r.h.r ' h 0
r
.........
2h
Derivando r en funcin de " h":
R
r ' h ..............
H
r 2h.r ' h 0 r ' h

Dada una esfera de radio R, calcule en funcin de R, del radio r y de la altura h del cono circular recto
de mayor volumen que puede inscribirse en esa esfera.

En el OCB :

h R 2 r 2

R2

h 2 2.h.R R 2 r 2 R 2
r 2 2.h.R h 2

Vcono

.r 2 .h
8.R 2 2 2 R
r2

3
9
3

Maximizando Volumen :

2.h.R h 2 . h
3
2
2. .R.h
.h 3

3
3

V h
V h

Reemplazan do h 0 en V h :
2. .R. 0
. 0

0
3
3
4R
Reemplazan do h
en V h :
3
2
3
2. .R. 4 R 3
. 4 R 3
V 4 R

3
3
3
2

V 0

2. .R. 4 R 3
. 4 R 3
32. .R 3

3
3
81
2

4R

Cuando h

4R
el Volumen es mximo
3

Hallando Puntos Crti cos :

4. .R.h 3. .h 2

3
3
0

V ' h
V ' h

.h
. 4.R 3h 0
3
h. 4.R 3h 0
4R
h 0 , h
3

Maximizando rea :

A 2r cos r sin
A 2r 2 sin . cos r 2 sin 2

A' 2r 2 cos 2 2r 2 2 cos 2 1

rea Mxima : A' 0
A' 4r 2 cos 2 2r 2 0
4r 2 cos 2 2r 2 2 cos 2 1
1
1

cos 2 cos

2
4
2

Halle el rectngulo de mayor rea que puede inscribirse en un

semicrculo de radio r, teniendo la base inferior en el dimetro.

x 2r cos r 2
y r sin

r
2

Condicin :

2
rea : xy

A r2

Maximizando rea :
A

2r 2r cos r sin

`2
2r 2 sin . cos 2r 2 sin
A

2
2
r 2 sin 2 2r 2 sin
A

2
2
2r 2 cos 2 2 r 2 cos
A'

2
2
rea Mxima : A' 0

A' r 2 cos 2 r 2 cos 0

cos 2 cos 2 cos 2 1 cos 0

2 cos 1. cos 1 0

Halle el trapecio de
mayor rea que puede inscribirse en un semicrculo de radio r, teniendo la base mayor en el dimetro.

x 2r cos r
y r sin

r 3
2

Condicin :

0
2
2r r

rea :
A

r 3

3r 2 3
4

Permetro : p y y z x x z
Minimizand o Permetro :
p 2x 2 y 2z
p 2x 2 y 2x 4x 2 y
p 4 R cot 2 R cot
p 4 R cot 2 R cot 90 2
p 4 R cot 2 R tan 2

4.R. cos 2.R sin 2

sin cos 2

p a

Un

tringulo issceles est circunscrito a un crculo de radio R. Demuestre que el tringulo de permetro
mnimo tiene por altura 3R.

2 90
90 2

30

p' a
p' a

4 R. sin 2 4 R. cos 2 4.R cos 2 2 4.R. sin 2 2

2
2
sin

cos
2

2
2
4 R 4 R. cot 4 R 4 R. tan 2

p ' a 4 R. tan 2 2 4 R. cot 2

p' a 0
0 4 R. tan 2 2 4 R. cot 2
tan 2 2 cot 2 tan 2 cot
2
cot
cot tan
2 cot 2 1 3 cot 2

3 cot

30 6

Queda demostrado que :

h R R csc
h R R csc 30
h R 2R
h 3R

Halle las dimensiones del rectngulo de mayor rea y con los lados paralelos a los ejes de coordenadas
que puede inscribirse en la figura limitada por las dos parbolas: 3y = 12 x 2; 6y = x2 12

Condicin :
0 x2 3

x2
A x 2 x 6 12 x x 3
2

2
A' x 12 3x
Lados del rectngulo :
A' x 0
Base : 2 x
12 3x 2 0 x 2

Altura : P1P2 6-

Segn la condicin :
x 2

Base : 4

x2
2

Altura : 4

x2
P1 xo , yo x ,
2
6

x2
P2 xo , yo x , 4
3

Puntos de Intersecci n :
1
1
y 4 x2 ; y x2 2
3
6
1 2 1 2
4 x x 2 x 2 3
3
6

Dos ciudades A y B se encuentran a 8 millas de distancia una de otra. Si el punto P, equidistante de A

y B es tal que la suma de las distancias PA, PB, PC es la menor posible, A qu distancia est P de C?

PA PB PC mnimo
a a x mnimo

S 2 4 sec 4 3 4 tan min .

S 8 sec 4 3 4 tan
S ' 8 sin . sec2 4 sec 2
S ' 0

4 sec 2 2 sin 1 0

a 4 sec

sec 0

y 4 tan

2 sin 1

sin 1 2 6

4
tan 30
x y
4 cot 30 x 4 tan

8 cos 2 16 sin 2 8 sin

cos3
x 4 3 4 tan
8 cos 2 6 16 sin 2 6 8 sin 6
S ' ' 6
9.24 0
cos3 6
x 4 3 4 tan 6
6 es mnimo
x 4.62millas
S ' '

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba. Su distancia s al suelo despus de t segundos est
dada por s = 192t 16t2
a) Hasta qu altura llegar el cuerpo?
b) Con qu velocidad llegar al suelo nuevamente?
a.

S es mximo cuando S(t) = 0

S(t) = 192 32t = 0

=t=6

S(t)mx = 192(6) 16(6)2 = 576m

b.

S=0

0 = 16t(12 t)
t = 0, t = 12

t = 12: tiempo que dura el vuelo hasta llegar al suelo

S(t) = 192 32t

S(t) = 192 32(12) = -192 m/s

velocidad con la que llega al suelo

Halle las dimensiones de un rectngulo de rea mxima inscrito en un tringulo de lados 8, 10 y 12 m.

tal que un lado del rectngulo est contenido en el lado del tringulo de lado 12m.

Semejanza de tringulos :
AED EBF
a
mb

ha
b
ab mh bh am ab
m b a
h
CHG GFB

En el AIB
h 2 m 2 82
h 2 64 m 2 h 5 7 2

a
12 m c

En el BIC
ha
c
2
2
2
ac 12h 12a mh am ch ac h 12 m 10
2
64 m 144 24m m 2 100
12 m h a
c
108 24m m 9 2
h

A a a. b c

A a. b c

m h a 12 m h a

h
h

h a
bc
. m 12 m
h
12 h a
12a
bc
12
h
h
5 7

b c 12 12 4 6
5 7

2
b c

12a

A a a. 12

12a 2
A a 12a
h
212 a
A' a 12
h
Amx. A' a 0
24a
0
h
h 2a a 5 7 4

12

Exprese el nmero 4 como la suma de dos nmeros positivos de forma que la suma del cuadrado del
primero y el cubo del segundo sea tan pequea como sea posible

f ( a ,b ) a 2 b 3 mnimo
f ' ( a ,b ) 0

Verificand o el mnimo

f ' ( a ,b ) (a 2 b 3 )' 0

f ' ' a ,b 26 6a

f ' ( a ,b ) a 2 4 a ' 0
3

13a

f ' ( a ,b )

64 48a a 3 ' 0

8
3
f ' ' a ,b 10 0 es mnimo

Cuando a

f ' ( a ,b ) a 2 64 48a 12a 2 a 3 ' 0

f ' ( a ,b ) 26a 48 3a 0 3a 2 26a 48 0 Cuando a 6

2

3a 8. 6 a 0
a1

8
3

a2 6

f a ,b a b 4
b 4a
b

4
3

f ' ' a ,b 10 0 es mximo

amin

8
3

a) Si deseas cercar un jardn rectangular y si tienes 200 pies de cerca, Cules son las dimensiones
del jardn ms grande que puedes cercar (rea Mxima)?

200 x y x y
200 2 x y
A' x 100 2 x
Maximizando rea :
100 x y
A' x 0
A x x.100 x
y 100 x
100 2 x 0 2 x 100
2
A x 100 x x
y 50
x 50

rea : A x. y

b) Si dos de tus amigos desean ayudarte con el jardn, pero ellos quieren dividir el jardn en tres
partes iguales colocando dos cercas extras a lo ancho, con los 200 pies de cerca disponibles, Cul es
el rea total mxima de las tres partes?

rea : A x. y

200 2 x 4 y

Maximizando rea : 200 2 x 2 y

50 2 A' x 50 x
100 x 2 y
x

A 50 50. 50
A x x. 50
2 A' 0
2
x

x
y 50
A 50 2500 1250
2
2
100 x 0
x
A x 50 x
A 50 1250m 2

25
x 50
2

Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de tener un rea de
10800 m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, Cules deben ser las dimensiones de la
huerta para que el costo al cercarla sea para el dueo de la huerta el mnimo?

x. y 10800
10800
y
y 120
x
y
M x 2 x 3. mnimo
2
3 10800
16200
M x 2x .
2x
2
x
x
16200
M ' x 2
x2
M ' x 0
16200
x 2 8100
x2
x 90

80

90

100

x 90 mnimo

.x
p x 2y
2

.x
Ilu min acin de luz de la semicircun ferencia k
2 y y p. 4
2
16 6 Ilu min acin de luz de l rectngulo 2k

px

Una ventana
tiene forma de rectngulo terminado por un semicrculo de dimetro igual a la base del rectngulo. La
porcin rectangular ha de ser de cristal transparente y la parte circular ha de ser de cristales de
color que admiten slo la mitad de luz por metro cuadrado que el cristal transparente. El permetro
total de la ventana ha de tener longitud fija P. Halle, en funcin de P, las dimensiones de la ventana
que deja pasar la mayor cantidad de luz (rea mxima).

.x 2
8
E 2 2k .x. y
E T E1 E 2
E1 k .

.x

px

k . .x 2
2

ET
2k .x.
8
2
k . .x 2
.x

ET
k .x. p x

8
2

k . .x 2
k . .x 2
ET
k . p.x. k .x 2
8
2
2
3
.
k
.

.
x
E T k . p.x. k .x 2
8

Derivando E T en funcin de x
E ' x k . p 2.k .x

3.k . .x
4

E 'x 0
3. .x

k p 2x
0
4

3. .x
p 2x
0
4
3. .x
p 2x
4
4 p 8 x 3. .x
4p
x
8 3

Dimensione s de la ven tan a :

4p
8 3
p 4
y
16 6
2 P
z
8 3
x

Si r y s son los catetos de un tringulo rectngulo de hipotenusa 1, halle el mayor valor de (2r + s).

f ( r , s ) 2r s mximo
f '( r , s ) 0
f '( r , s ) ( 2r s )' 0

2 1 s s ' 0 21 s

2 12

f ( r ,s ) r 2 s 2 1
r2 1 s2
r 1 s2
2
r
5

s ' 0

1 2
1
2 1 s 2 2 s 1 0
2
2s
1
1 s2
1
2s 1 s 2 s
5

2r s mximo
1
2
2
5

5
5

Se debe hacer un embudo cnico que tenga la generatriz de longitud 20cm. Cul debe ser la altura
del embudo para que su volumen sea el mayor posible?

 .r 2 .h
3
Maximizando el Volumen :

. g 2 h 2 .h
. 400 h 2 .h
V h
3
3
3
400. .h .h
400. 3 .h 2
V h

V ' h

3
3
3
3
2
g 2 h2 r 2
400. 3 .h
20
V ' h 0

h
g 2 h 2 r 2 400 h 2 r 2
3
3
3
V h

Un sector de ngulo central est recortada de un crculo de radio R. Al enrollarse el sector, se

genera una superficie cnica. Cul debe ser el ngulo para que el volumen del cono obtenido sea el
mayor posible?

2 .R 3 4 2 2
V '

1
2

1
2
2
4
2

2 .R 3

2 .R 3 4 2 2

1
2

1
2
2
4
2

2 .R 3

2 .R 3 4 2 2
2

1
2

1
2 2

2. 4 2 2

.R 4

3 .R 3 4 2 2
3

4 2 2

2. 4 2 2 2
8
2
3
2
2 .
Volumen mximo
3
2

1
2

1
2

24 2

2 .R 3

24 2

V ' 0

1
2

1
2 2

2 .r .R

.R
2
h2 r 2 R2
r

.r 2 .h
3
Maximizando Volumen :

2 .R 2 R
.
. 4 2 2
2
2

4
3

V
2 .R 2
2
4
2 .R 3 . 4 2 2
2
2
4

R
2 .R 2 V
2
h
24 2
4 2
1
R
2 .R 3 . 4 2 2 2
2
2
h
. 4
V
2
24 2
h2 R2

Condicin :
0 x2 3

A x 2 x 12 x 2
A' x 24 6 x

Lados del rectngulo :

Base : 2 x

A' x 0

Altura : xP1 12 x 2

x 2

A x 32u 2

24 6 x 2 0 x 2 Base : 4
Segn la condicin : Altura : 8

P1 xo , yo

P1 x , 12 - x 2

Halle el
rea del mayor rectngulo que tiene su base inferior en el eje X y con los vrtices en la curva y = 12
x2

Halle aquel nmero que ms excede a su cuadrado

Nmero : x
f ( x) x x 2
f '( x ) 0
f '( x ) 1 2 x 0
x

1
2

Dado un sector circular de radio r, si el permetro P mide 100 pies, Qu valor de radio r producir
un rea mxima?

1
A .r 2
2
Permetro : P 2r .r
L .r

P
2r
2
A' r 0

Maximizando rea :

A' r

1
A .r.r
2
1
1
A r P 2r rP r 2
2
2

P
2r 0
2
P 4r r 25 pies
A' r

A 625 pies 2

Halle el mnimo valor de la constante m si mx 1 + (1/x) debe ser

0 para todo x

1 mx x 1

0
x
x
mx 2 x 1 0
2

f ( x ) mx 1
f ( x)

f ' ( x ) 2mx 1

1
0
x

1
1
0
1
1
2m
2m

f '( x ) 0
2mx 1 0 x

mx 1

1
2m

1
1
1 2m 0 m
2
4

12 12 2 6 cos
. 6 sin
2

A 12 6 cos . 6 sin
A 72 sin 36 sin . cos
A 72 sin 18 sin 2
A

Condicin :
1 cos 1

Halle

la

base superior de un trapecio issceles de base 12m y lados

6m si su rea es mxima.

2 cos
A' 72 cos 36 cos 2

2 cos cos 2
2 cos 2 cos 1
2

3 1
0
2

1 3
3 1
, cos 2
2
2
cos 1 0.366 , cos 2 1.366
cos 1

A' 0
72 cos 36 cos 2 0

3 1 . cos

Segn condicin :
1 1.946
, 2
cos

2 cos 2 cos 1 0
2

1 3
2

x 12 2 6 cos
1 3

x 12 2 6.
2

x 12 6. 1 3

x 12 6 6 3 6 6 3
x 16.39

4A
Minimizand o Permetro :
r3
2A
Para r A P ' ' r 0 min . P ' r 2 2
Analizando en P' ' r :

Para r - A P ' ' r 0 max .

P : min . :
r A

2A
0
r2
2r 2 2 A r A
P ' r 0 2

Una placa tiene la forma de un sector circular

de radio r y ngulo Halle r y si el rea A es fija y el permetro P es mnimo. Aqu es el ngulo

central.
L .r
1
1
A .r 2 A .r.r
2
2
2A
.r
r
Permetro : r .r r P
P 2r .r
P r 2r

Reemplazan do :
2A
2A
.r
. A
r
A
.A 2 A
2rad .

2A
2r 2 Ar 1
r

Si la suma de dos nmeros positivos es 8, halle tales nmeros si la suma de sus cubos es mnima.

f(a, b) = a + b = 8
f(a, b) = a3 + b3 = mnima

a+b=8
f(a, b) = 0

b=8a
f(a, b) = (a3 + b3)=0

b=4
(a3 + (8 - a)3) = 0

(a3 + 83 - 3(8)2(a) + 3(8)(a2) a3) = 0

(83) (3(8)2(a)) + (3(8)(a2)) = 0

0 3(8)2 + 2(3)(8)(a) = 0
2a = 8

a=4

Grafique la funcin f(x) = x4 12x2 + 36

Para hallar puntos crticos : f ' x 0

f ' x 4 x 3 24 x
4 x 3 24 x 0 x 3 6 x 0

x x 2 6 0 x x 6 x 6 0
x 0, x 6 , x 6

Para hallar puntos de inflexin : f ' ' x 0

f ' ' x 12 x 2 24
12 x 2 24 0 x 2 2 0

x 2 x 2 0

x 2 , x 2

2 , 16 , 2 , 16

f 2 f 2 2 12 2 36 16

Para hallar el Mximo relativo : x 0

f 0 0 4 12 0 36 36
2

Mx. Re l. 0, 36

Para hallar el Mnimo relativo : f x 0 x 6

12 6
Mn.. Re l. : 6 , 0 , 6 , 0

f 6 f 6 6

36 0

Halle a, b, c, d para que y = ax 3 + bx2 + cx + d, sea tangente al eje x en (2,0) y tenga punto de inflexin
en (0,4)

Punto de inf lexin : (0,4)

y' ' 0
f ' ' ( 0) 0

y ' 3ax 2 2bx c

y ' ' 6ax 2b

(0,4)
f (0) 4

6a 0 2b 0
b0

a 0 b 0 c 0 d 4
3

d 4

y tan gente al eje x en (2,0)

f ' 2 0

(2,0)
f ( 2) 0

3a 2 2b 2 c 0
12a 4b c 0
12a c
c 3
2

8a 2c 4 0
8a 2 12a 4 0
4 16a a 1 4

Si f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determine los valores de a, b, c y d para que f tenga un extremo relativo en
(0,3) y la grfica de f un punto de inflexin en (1,-1)

f(x) = 3ax2 + 2bx + c

f(x) = 6ax + 2b

f(x) = 0

f(x) = 0

Extremos relativos

Punto de inflexin

Extremo relativo en el punto (0,3):

f(0) = 0
f(0) = 3
3a(0)2 + 2b(0) + c = 0
a(0)3 + b(0)2 + c(0) + d = 3
c=0
d=3

Punto de inflexin en el punto (1,-1):

f(1) = 0
f(1) = -1
6a(1) + 2b = 0
a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d = -1
b = -3a
a + b + c + d = -1
b = -3

a 2 b 2 c 2 d 0

a 3a + 0 + 3 = -1

a=2

Determine la constante a de modo que la funcin f (x) = x2 + (a/x) pueda tener a) un mnimo relativo en
x = 2, b) un mnimo relativo en x = -3, c) un punto de inflexin en x = 1

f(x) = x2 +

a
x

f(x) = 0: mn. relativo

a = 16

f(x) = 2x -

a
2
x

a) f(2) = 2(2)

a
2
2

= 0

a
2
(3)

b) f(-3) = 2(-3)

= 0

a = -54

f(x) = 0: pto. Inflexin

2a
x3

f(x) = 2 +

c) f(1) = 2 +

2a
12

=0

a = -1

Determine las constantes a y b de manera que la funcin f(x) = x3 + ax2 + bx + d pueda tener:

a) Mximo relativo en x = -1 y un mnimo relativo en x = 3, b) Un mnimo relativo en x = 4 y un pto.

Inflexin en x = 1

f(x) = x3 + ax2 + bx + d

f(x) = 3x2 + 2ax + b

f(x) = 0: mx. relativo

a) f(-1) = 3(-1)2 + 2a(-1) + b = 0

b+3=

2a

-6

b+3=
b = -9
a) f(3) = 3(3)2 + 2a(3) + b = 0

f(x) = 0: mn. relativo

27 = 0

24 = 0

-24

6a + b +

6a + b + 3 +
6a + 2a =
a = -3

f(x) = 0: pto. Inflexin

b) f(4) = 3(4)2 + 2a(4) + b = 0

f(x) = 6x + 2a

b) f(1) = 6(1) + 2a = 0

-24 = b

a = -3

Determine los coeficientes a, b, c y d de tal forma que la funcin f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, tenga un
valor mximo en el punto (-1,10) y un pto. Inflexin en (1,-6)

f(x) = 3ax2 + 2bx + c

f(x) = 6ax + 2b

Mximo relativo en el punto (-1,10):

f(-1) = 0
f(-1) = 10
2
3a(-1) + 2b(-1) + c = 0
a(-1)3 + b(-1)2 + c(-1) + d = 10
c = 2b 3a
-a + b c + d = 10

c = -9a

5a

c = -9
Punto de inflexin en el punto (1,-6):
f(1) = 0
f(1) = -6
6a(1) + 2b = 0
a(1)3 + b(1)2 + c(1) + d = -6
b = -3a
a + b + c + d = -6

f(x) = 0

f(x) = 0

Mximo y mnimo relativo

Punto de inflexin

b + d = a + 2b 3a + 10

d = 10 2a + b

d=5

d = 10

b = -3

a 3a - 9a + d = -6

10 5a = 11a 6

Grafique f(x) = x2/(1+x2)

http://www.youtube.com/watch?v=V7HrkWdnarI&feature=fvwrel

a=1