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Álgebra de matrices

Determinantes

Regla de Cramer

Espacio vectorial y subespacio

Combinación lineal

Base y dimensión, Rango y Nulidad

Producto Interior

Transformación lineal

Bibliografia

Libros de Álgebra lineal

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• Bernard Kolman
• Poole David
• Nakos George, Joyner David
• Proskuriakov, I Problemario
• Heinhold, Joseph, Bruno Reidmuller Determinantes y sistemas de ecuaciones
• Julia García Cabello
• Gilbert Strang
• Manuel Iglesias Cerezal problemas
• Ángel Balaguer Beser,Elena Alemany Martínez

Producto Interior

Producto Interior

Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función que asocia un número real ‹u, v› a cada pareja de vectores u y en V de forma que los siguientes axiomas se cumplen para los vectores u, v y w en V los escalares k.

‹u, v› = ‹v, u› Axioma de la simetría

2. ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w› Axioma de aditividad

3. ‹ku, v›=‹u, kv › = k ‹u, v› Axioma de la homogeneidad

4. ‹u, u› ≥ 0 donde ‹u, u› = 0 si y sólo si u=0 Axioma de positividad

Fórmula

u= (u₁ ,u₂,….u_n) y v=(v₁ ,v₂,……,v_n)

‹u, v›= u₁ v₁ +u₂ v₂+…..+u_n v_n

Ejemplo

U=(1,2) V=(0,3)

‹u, v›= 1*0+2*3=0+6=6

Ejercicios

1.- Sea ‹u, v› el producto interior sobre R y u=(3,-2), v=(4,5) y w=(-1,6)

K=4

Encontrar

a) ‹u, v›=‹v, u› b) ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w› c) ‹k u, v›=‹u, k v › = k ‹u, v›

2.- Calcular ‹u, v›

Propiedades del producto interior

1.- ‹0, v› = ‹v, 0›=0

2.- ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w›

3.- ‹k u, v›=‹u, k v› = k ‹u, v›

4.- ‹u- v, w › = ‹u, w› - ‹ v, w›

5.- ‹u, v- w › = ‹u, v› + ‹u, w›

Norma de un vector

Si v es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud) de un vector ║u║ en V se denota por y y se define como:

u= (u₁ ,u₂,….u_n)

Comparando las fórmulas

‹u, v›= u₁ v₁ +u₂ v₂+…..+u_n v_n

Se puede concluir que

║u║=‹u, u›^1/2

Ejemplo

U=(1,2)

Si u y v son vectores en un espacio en V y k un escalar

1.- ║u║≥0

2.- ║u║= 0 si y solo si u=0

3. -║k u║ = 1k1 ║u║

4.- ║u+ v║≤║u║+║v║ desigualdad del triángulo

Distancia entre dos vectores

Se define como

Ejemplo

U=(1,2) V=(0,3)

Propiedades

1.- d (u,v)≥0

2.- d (u,v)= 0 si y solo si u=v

3.- d (u,v)= d (v,u)

De acuerdo a lo antes expuesto

Ejercicios

1.- Hallar el valor de la norma de los siguientes vectores

U = (-1,2) p=-2+3x+2x ²

2.- Hallar la distancia entre los vectores

U=(-1,3) v=(3,0)

P=3+3x q= 2+4x-x²

3.- Suponer que u, v y w son vectores tales que;

‹u, v›=2 ‹u, w›= 5 ‹w, v›= -3 ║u║= 1 ║v║=2 ║w║=7

Hallar

‹u+ v, v + w› ‹2v-w, v-u›

║u+ v║ ║2w- v║ ║2u+ v-w║

Rango y Nulidad de una Matriz

Rango y Nulidad de una Matriz

La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A), la dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota nulidad (A).

Propiedad

Rango (A)= Rango (A^T)

Teorema de la dimensión

Si es una matriz A con n columnas, entonces:

Rango (A) + nulidad (A) = n

El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente

Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en forma escalonada.

El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).

Ejemplo

Sea A. determinar su rango y nulidad

Por procesos elementales

–f₁+f₂→f_{2 ^} –f₁+f₃→f₃ f₂+f₃→f₃

rango (A)= 2

Ejercicios

Calcule el rango y la nulidad de A

En cada caso usa la información que proporciona la tabla para encontrar la nulidad de Ay A^T

	a	b	c	d	e	f	g
Tamaño de A	3x3	3x3	3x3	5x9	9x5	4x4	6x2
Rgo A	3	2	1	2	2	0	2

Base y Dimensión

Espacio Vectorial

Base y Dimensión



Si V es cualquier espacio vectorial y S ={v₁ ,v₂,…….v_n} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las siguientes condiciones:

1. S es linealmente independiente
   
2. S genera V
   

Reciben el nombre de base natural o canónica

Ejemplo

El conjunto S={ v₁,v₂,v₃,v₄}, donde v₁=(1,0,1,0),v₂=(o,1,-1,2),v₃=(0,2,2,1), V₄=(1,0,0,1) es una base para R⁴



En primer lugar hay que demostrar que es linealmente independiente,

C₁ v₁ +c₂ v₂ + c₃ v₃ + c₄ v₄ =0

Se puede efectuar como se realizó para independencia lineal construyendo la matriz. Es válido, además resolver el determinante puesto que una de las condiciones para formar la base es el número de vectores que la forman. Si el determinante es distinto de cero (0) se dice que es independiente lineal por lo tanto forman la base, mientras que el resultado si es igual a cero no forman base. (Recordar las propiedades de los determinantes)

Resolver el determinante factible si la matriz generada posee una dimensión que lo permita, es decir menos cálculo que por otro método. La matriz generada siempre es cuadrada sino no sería base



Se realiza la eliminación guassiana –f₁ +f₄~f₄



Se ha triangulado la matriz por lo tanto forman base.



La dimensión de un espacio vectorial no nulo es el número de vectores en una base V. Se simboliza dim V



Ejemplo

1. La dimensión de R² es 2, la dimensión de R³ es tres.
   
2. 
   
   En el ejemplo de base se puede decir que dim V = 4
   
   
   
   

Espacio vectorial

Espacio vectorial

1. Independencia Lineal.
   

      Los vectores v₁, v₂, …..v_n de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c₁, c₂,……..c_n no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo):

C₁ v₁ + c ₂v₂+……c_n v_n =0

      En caso contrario se dice que v₁, v₂, …..v_n son linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c₁ = c₂=…….=.c_n=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero.



Ejemplo:

• Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si.
  

Formando la ecuación

C₁ (-1,1,0,0) + c₂ (-2,0,1,1)=(0,0,0,0)

-c₁ -2c₂ =0

C₁+ 0c₂ =0

C₂=0

C₂=0

         La única solución de este sistema es c₁ = c₂=0 




   Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente: 


Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior

-2f₁ +f₂ → f₂

Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal. 

•      Considerando los vectores
  

p₁ (t)= t² + t + 2 p₂ (t)= 2t² + t p₃ (t)= 3t² + 2t + 2

son linealmente independientes o no

Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores.

Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).

Podran encontrar mas ejercicios en el siguiente enlace.
_{Algebra lineal Bernard Kolman pág 301}

Transformación Lineal

Transformación Lineal

Definición

Si T: V→W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V a W, si para todos los valores u y v y los escalares c, se define que

1. T(u+v)=Tu+Tv
   
2. T(cu)= cTu
   

En casos especiales T: V→V es decir el mismo espacio vectorialse llama operador lineal.



Propiedades

Si T: V→W

1. T(0)=0
   
2. T(-v)= -T(v)
   
3. T(u-v)= T(u)-T(v)
   

Ejemplo

Por medio de la definición de transformación lineal

1.- Sea V=(-∞,∞) el espacio vectorial de funciones de primera derivada continuas sobre (-∞,∞) y W= F(-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (-∞,∞)

T: V→W

D(f) = fx'

1. 
   
   T(f+g)= Tf +Tg
   
   (fx+gx)'= (fx)' +(gx)'
   
   Esto se cumple
   
   
2. 
   
   T(cf)= cT(fx)
   
   (cfx)'=c(fx)'
   
   

Esto también se cumple por lo tanto es transformación lineal.

2.- Si T: Mnn→R

T(A)= A

1. T(A+B)≠ T(A)+T(B)
   

A+B ≠ A+ B

1. TcA ≠ cTA
   

cA ≠ cA

Como no se cumplen ninguna de los dos axiomas, por lo tanto no es transformación lineal.

Ejercicios

1.-Si T: Mnn→R

T(A)= tr A

2.- Si V→R donde V es un espacio con producto interior y Tu = ║u║.


Mas ejercicios